математику, множество... Ты когда-нибудь
видела как рисуют множество?
- Множество чего, - спросила Алиса.
Ничего, - отвечала Соня, - просто множество!
Льюис Кэррол. Алиса в стране чудес.
ДУАЛЬНЫЙ ВКЛАД БРИТАНСКОЙ МЕНТАЛЬНОСТИ В ЛОГИЧЕСКУЮ КУЛЬТУРУ
Британская интеллектуальная культура внесла в логику вклад, во многом определивший развитие последней. Причем, вклад, по-своему парадоксальный.
С одной стороны, это реализация свойственной британской ментальности ориентации на здравый смысл, факты, непосредственный опыт. Ориентация эта нашла выражение в теории индукции, развитой Ф.Бэконом, Д.С.Миллем во многом в пику традиционной теории дедукции, восходящей к силлогистике Аристотеля. Для дедуктивного вывода, как известно, необходимо хотя бы одно общее суждение - из двух частных суждений, взятых в качестве посылок, сделать однозначное заключение невозможно. Однако, источник, механизм и правила получения знания, фиксируемого в общих суждениях, до Ф.Бэкона оставались не введенными в логику. Правила же индукции (методы сходства, различия, остатков, сопутствующих изменений) дали такой аппарат, который до сих пор определяет методологию эмпирического знания, интерпретации результатов наблюдения, экспериментов в естествознании, социальных науках, психологии и т.д.
Результатом этого стало осознание, что именно индукция лежит в основе дедукции, потому как формирование общих суждений, в конечном счете, опирается на полную индукцию, т.е. исчерпывающее знание предметов определенной области. Например, в учебниках по логике еще даже конца XIX - начала XX века в качестве бесспорного общеутвердительного суждения приводился пример: «Все лебеди белые». Однако обнаружение в Тасмании популяции черных лебедей обнаружило неполноту и некорректность обобщения. Формирование аппарата индукции показало глубоко и принципиально опытный характер человеческого знания. Логика, при всей ее абстрактности предстала глубоко эмпирической наукой, всегда опирающейся на конкретный уровень человеческого знания. Человек - конечное существо, пытающееся постичь бесконечное - мир во всей бесконечности его разнообразия. Поэтому человеку не дана вся возможная полнота знания. Он всегда постигает мир с какой-то позиции, с какой-то точки зрения, в каком-то смысле.
В этом пункте мы несколько неожиданно сталкиваемся со вторым вкладом британской ментальности в мировую культуру. Речь идет о nonsens'е. Стилистика и поэтика нонсенса, классиками которого являются Э.Лир, Льюис Кэррол, Л.Стерн, Х.Беллок, Э.В.Рью, С.Миллиган, не только и не столько феномен «английского юмора». Последний, действительно, носит несомненный концептуальный характер, являясь преимущественно «игрой ума». В этом его очевидное отличие, например, от немецкого юмора, носящего грубовато-ситуативный характер или от юмора французского - преимущественно словесного.
Дело, однако, не столько в интеллектуально изощренном комизме нонсенса. Это не просто абсурд или черный юмор. Non-sens - отнюдь не отсутствие смысла. Наоборот - он связан с обилием смысловых коннотаций и интерпретаций, умножением, если не факторизацией смысла.
Русскими формалистами (В.Шкловским, Ю.Тыняновым, Б.Эйхенбаумом) в 1914-1920-е годы было убедительно показано, что в основе всякого творческого осмысления лежит остранение - делание привычного непривычным, странным. Следующим шагом является выстраивание из остраненных смыслов нового ряда. Концепция остранения была положена В.Кулешовым, С.Эйзенштейном, самим Б.Шкловским в основу теории монтажа, Б.Брехтом - в основу поэтики театра, Э.Баллоу - в теорию художественного восприятия. Ее коррелятом является концепция лиминальности В.Тернера, согласно которому социально-культурная динамика в любой сфере предполагает стадию лиминальности - устранения социальных статусов, значений, структур и т.д. За нею следует стадия реаггрегации - выстраивания новой структуры. Один из столпов постмодернизма, отец деконструктивизма - Ж.Деррида неоднократно заявлял, что идея деконструкции - не что иное, как переинтерпретированная идея остранения В.Шкловского.
И неспроста, наверное, свою концепцию остранения В.Шкловский вырабатывал, опираясь на анализ творчества не Л.Толстого и особенно - Л.Стерна. По свидетельствам очевидцев, В.Шкловский в то время постоянно носил с собой том «Тристрама Шенди» и читал оттуда фрагменты знакомым при первой же возможности. Аналогично неспроста, думается, и Ж.Деррида, идеи которого не находили поддержки на родине у французской гуманитарной общественности, смог получить ученую степень только защитившись в Британии. Представляется, что в обоих случаях (В.Шкловского и Ж.Дерриды) с очевидностью прослеживается «британский след».
Но есть такая фигура в британской интеллектуальной культуре, в идеях которой обе отмеченные установки - эмпирическая фактичность и нонсенс - не только сочетаются, но и породили нетривиальный логико-семантический синтез. Речь идет о Льюисе Кэрроле.
ШИРОКО ИЗВЕСТНЫЙ НЕИЗВЕСТНЫЙ КЭРРОЛ
Имя Льюиса Кэррола (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона) хорошо известно многим, прежде всего, как имя автора «Охоты на Снарка». «Алисы в Стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье». [1] Менее известны его логические парадоксы (два из них были в свое время опубликованы в "The Mind") и головоломные задачи, некоторые из которых попали на страницы его сказок. Однако мало кому известно, что автор замечательных сказок и задач, ставящих в тупик не только искушенных в логике людей, но и современные ЭВМ, разработал чрезвычайно оригинальную логическую систему (силлогистики), центральным звеном которой является ее отличное от традиционного семантическое обоснование.
Первое же знакомство с первой частью «Символической логики» Кэррола[2] поражает оригинальностью и глубиной мысли автора, тщательностью и продуманностью не только отдельных положений, но и широкого плана построения целостной логической теории. Сам Кэррол опубликовал только первую часть своего фундаментального труда и ее популярную версию «Логическая игра». Им была подготовлена вторая часть, корректура которой была найдена в архиве профессора Кука Вилсона.[3]
Характерной чертой логической системы Кэррола является то, что она не является плодом чисто умозрительных построений автора. Наоборот, логика Кэррола носит сугубо практический, даже лапидарный характер. Она предназначена для непосредственного решения сложнейших логических и математических задач.[4] Автор сознательно проверяет ее в «экстремальных» случаях, его привлекает прежде всего логический анализ суждений, по меньшей мере странных с точки зрения здравого смысла. Его основная цель - сформулировать предельно общие формулы и правила получения нового знания, которые, подобно улыбке Чеширского кота, остаются после того, как здравый смысл из посылок исчезает.
Глубина поднимаемых Кэрролом логико-философских вопросов, оригинальность их решения отмечались в свое время Б.Расселом, а также представителями таких сравнительно молодых наук, как семиотика и логическая семантика.[5] Речь идет об анализе Кэрролом понятия существования в логике, о возможности получения в его логике заключения из отрицательных посылок, о необычном методе диаграмм, превосходящем эвристическими возможностями хорошо известные диаграммы Л.Эйлера и Д.Венна, об обосновании форм правильного вывода, которые позволяют получать множество новых видов умозаключений, не известных в аристотелевской логике и многом, многом другом.
Несмотря на столь явные достоинства, новаторские идеи и методы Кэррола не были своевременно оценены по достоинству, а имя его незаслуженно обойдено в учебниках по истории логики. Правда, отмечая этот прискорбный факт исторической несправедливости, следует учитывать, что одновременно с автором «Символической логик» (годы жизни Кэррола - 1832-1898) жили и творили такие авторитеты в логике как У.Гамильтон (1788-1856), Д.С.Милль (1806-1873), Г.Лотце (1806-1881), У.Джевонс (1835-1882), А.де Морган (1806-1878), Д.Венн (1834-1923), Г.Фреге и, наконец, основатель современных математических методов в логике - Д.Буль (1815-1864). Творчество Кэррола выпадает как раз на тот период, когда велись активные поиски развития методов формальной логики, по внедрению в логику математических методов, приведших впоследствии к развитию мощного аппарата математической логики. Немудрено поэтому, что логические труды признанного литератора, но мало кому известного преподавателя элементарной геометрии в Оксфорде, остались незамеченными в логической литературе.
Однако вряд ли прав переводчик «Символической логики» на русский язык Ю.Данилов, когда представляет Кэррола самоучкой, не имевшим достаточного логического образования.[6] Кэррол состоял в активной творческой переписке с Д.Венном, им тщательнейшим образом изучена силлогистика Аристотеля. Да и вообще, вряд ли, работая в Оксфорде, он оставался в стороне от современных ему идей математики и логики. О широкой логической эрудиции Кэррола свидетельствует не только глубина его логико-семантических разработок, но и рассыпанные по многим страницам «Символической логик» критические замечания и ответы на возражения возможным, хотя и безымянным критикам. Показательно и само название этой работы. До сих пор считается, что термин «символическая логика» впервые введен в обиход Д.Венном, работа которого, под таким названием вышла впервые в 1881 года, а вторым изданием - в 1894.
Тем не менее, можно сказать, что близкое знакомство с идеями одного из самых оригинальных и интересных британских мыслителей XIX века - дело еще далеко не завершенное, в том числе - в России. Прошла уже почти четверть века с появления первой отечественной работы, посвященной систематическому анализу логики Льюиса Кэррола.[7] За это время найдены и опубликованы материалы III-й и IV-й частей его «Символической логики», вышла на русском языке «Логическая игра»,[8] опубликована серия статей и защищена диссертация Н.Г.Колесникова,[9] эвристический потенциал кэрроловских диаграмм признан не только специалистами по искусственному интеллекту,[10] но и отмечен в энциклопедических изданиях.
Однако логика Кэррола до сих пор остается маргинальной темой в логической литературе. Ряд представляющихся важными и перспективными идей Кэррола, был отмечен в предыдущих публикациях автора данной работы. Время показывает, что обращение к кэрроловскому наследию важно не столько в целях знакомства с его системой, сколько в целях применения некоторых перспектив и возможностей, которые она открывает.
Например, ранее было показано, что только кэрроловские правила силлогистики дают возможность подтверждения гипотезы Я.Лукасевича, согласно которой для того, чтобы отбросить все неправильные модусы аристотелевской силлогистики, необходимо и достаточно аксиоматически отбросить только силлогистическую форму второй фигуры с общеутвердительными посылками и частноотрицательным заключением. Такой модус оказывается содержащим все три кэрроловских правила отбрасывания неправильных модусов, что позволяет строго обосновать интуицию польского исследователя силлогистики.[11] Более того, был продемонстрирован обобщающий характер кэрроловской силлогистики, основанной на двух правилах получения заключения и трех правилах отбрасывания. Это упрощение аксиоматики позволяет достичь как определенную унификацию силлогистических умозаключений с увеличением их количества: 624 правильных и 528 отбрасываемых модусов. Использование дополнительных правил отбрасывания позволяет легко и просто перейти к силлогистикам Лейбница (24 модуса), Аристотеля (19 модусов) и Гильберта (15 модусов). Тем самым был продемонстрирован внелогических характер ограничений этих систем, поскольку в них отбрасываются модусы, содержащие суждения с отрицательными терминами-субъектами, общеотрицательные суждения с отрицательными предикатами, а также общеутвердительные суждения, в которые входят как часть частноутвердительные суждения с отрицательным предикатом. Однако, все указанные модусы вполне допустимы в силлогистике Кэррола, которая, таким образом, оказывается наиболее общей силлогистической системой.[12]
В данной работе публикации продолжено выявление потенциала и перспектив кэрроловских идей, прежде всего - семантического плана.
КЭРРОЛОВСКИЙ МЕТОД ДИАГРАММ
Кэрролом были предложены два метода логического анализа - диаграммы и индексная запись. Причем ведущую эвристическую роль играют диаграммы. Этот метод основан на классификации универсума рассмотрения с помощью конкретных свойств (признаков).
Пусть диаграмма
представляет конкретный универсум. Если воспользоваться неким признаком, например, Х, то универсум может быть поделен на две ячейки: X и ~X (не-Х):
Далее можно, взяв другой признак, например, Y разделить универсум на еще две части. Таким образом, мы получим «двухбуквенную» диаграмму Кэррола:
Условимся далее, что знак 1 означает, что данная клетка универсума занята (в ней имеется хотя бы один предмет, наделенный такой комбинацией свойств). Кэррол для это цели чаще использует красную фишку (кружок). Знак 0, стоящий в клетке означает, что эта клетка пуста - таких предметов не существует.
На таких диаграммах можно легко представить простые суждения. Кэррол называет их «суждениями существования» или «нормальными формами». Представим диаграммы для традиционных четырех видов простых суждений: (A) - общеутвердительных (все X есть Y); (E) - общеотрицательных (все X не естьY); (I) - частноутвердительных (некоторые X есть Y) и (O) - частноотрицательных (некоторые X не есть Y):
| (I) |  | Некоторые X суть Y = Некоторые Y суть Х = XY существуют = Существуют XY |
| (O) |  | Некоторые Х суть ~Y = Некоторые ~Y суть Х = X~Y существуют = Существуют X~Y |
Таким образом, согласно Кэрролу, частноотрицательное суждение является разновидностью частноутвердительного.
| (E) |  | Ни один X не сутьY = Ни один Y не суть Х = Ни один XY не существует = Не существует XY |
| (A) |  | Все Х суть Y = (Ни один Х не суть ~Y) + (Некоторые Х суть Y) = (Не существуют X~Y) + (Существуют XY) = … |
Таким образом, в логике Кэррола существует только два типа простых суждений: I и E. Он называет их «реальностями» и «химерами» соответственно. О-суждения - разновидность I-суждений, а общеутвердительные суждения состоят из одной химеры и одной реальности. В этом он радикально расходится с традиционной трактовкой, согласно которой А-суждения чисто обратимы в общеотрицательные. В трактовке же Кэррола такой общеотрицательный эквивалент дополняется «реальностью», в которой подчеркивается непустота субъекта исходного суждения.
Если учесть возможность перемены мест субъекта и предиката, а также допущение отрицательных терминов-субъектов и терминов-предикатов, то очевидно, что такая трактовка, с одной стороны, упрощает силлогистику, с другой - резко увеличивает число возможных корректных модусов умозаключений.
Умозаключения - собственно силлогизмы - предполагают построение трехбуквенных диаграмм, на которые наносятся суждения посылки:
Проверим его на диаграммах Кэррола. Универсум - люди. X - эгоистичные. Y - обязательные. M - приятные окружающим:
 |  |
Метод Кэррола обладает несомненными эвристическими преимуществами перед другими методами диаграмм: Л.Эйлера и Д.Венна.
Метод Эйлера основан на сопоставлении понятию - круга, который изображает объем данного понятия (класс соответствующих предметов). Для изображения суждений как субъектно-предикатных структур используются простейшие комбинации двух кругов, соответствующих объемам субъекта и предиката:
| | Такая диаграмма используется для изображения суждений: «все Х суть Y», «ни один X не есть не-Y», «некоторые Y суть X», «некоторые Y суть не-X» и суждений, обратным четырем последним. |
 | Эта диаграмма используется в представлении суждений: «все Х суть не-Y», «Все Y суть не-Х», «ни один Х не есть Y», «некоторые не-Х суть Y», «некоторые не-Y суть Х», «все не-Х суть не-Y» |
 | Эта диаграмма используется в представлении суждений: «некоторые Х суть Y», «некоторые Х суть не-Y», «некоторые не-Х суть Y», «некоторые не-Y суть Х» и обратные им. |
Таким образом, метод Эйлера обладает интересной особенностью - все эйлеровы диаграммы содержат суждение «некоторые не-Х суть не-Y». Это позволяет Кэрролу саркастически заметить: «По-видимому, Эйлеру никогда не приходило в голову, что это утверждение иногда может оказаться ложным!»[13] Кроме того, для изображения этого суждения потребуется весь набор диаграмм.
Что касается метода Д.Венна, то он пользуется двумя кругами, в которых заштрихованная часть означает пустой класс (по техническим причинам мы там ставим 0), а непустая, «занятая» часть отмечается крестиком:
 |  |  |
| Некоторые Х суть Y | Ни один X не есть Y | Все X суть Y |
Таким образом, для четырех возможных классов XY, X~Y, ~XY и ~X~Y лишь первым трем соответствуют клетки конечных размеров. Четвертому же классу отводится вся остальная часть бесконечной плоскости. Столкнувшись с необходимостью изобразить суждение «ни один не-Х не сть не-Y», Венн замечал, что «не следует стараться заштриховывать всю внешнюю часть диаграммы».
Для изображения двух суждений с одним общим термином надо прибегать к помощи трехкруговой диаграммы, на которой для размещения восьми возможных классов имеется семь клеток конечных размеров:
Для четырех терминов потребуется уже сложная фигура из пересеченных эллипсов, дающая 15 конечных клеток. Для пяти терминов - еще более сложное построение с 31 клеткой. Причем один из эллипсов надо будет считать лежащим в плоскости вне одного из остальных. Для шести терминов потребуются две пятибуквенные диаграммы. Дальше шести терминов Д.Венн не идет.
Кэрроловские же диаграммы легко распространяются на 4 термина - в этом случае получаются 16 клеток. Для пяти терминов используются 32 клетки, для шести - 64, для семи - 128, для восьми - 256, для девяти - 512 (две соприкасающиеся восьмибуквенные диаграммы), для десяти - 1024 (квадрат из четырех восьмибуквенных диаграмм) и т.д.
Фактически, метод Кэррола является развитием и усовершенствованием метода Венна. Различия касаются только графики: у Венна - круги и ячейки ограничиваются кривыми линиями, а у Кэррола - прямыми. Кроме того, у Кэррола класс ~X~Y занимает такую же ограниченную часть плоскости, что и другие классы.
Интересно, что уже в ХХ столетии У.Маккаллок и его последователи, применившие диаграммы Венна (на которого Маккаллок и ссылается) для моделирования сетей формальных нейронов, пользовались, фактически, диаграммами Кэррола. Сначала Маккалок чертил круги в духе Эйлера-Венна, а затем стал пользоваться ихфрагментом, как общим случаем:[14]
 |  |
| Диаграмма Венна (прямоугольником выделена часть, аналогичная диаграмме Кэррола - Маккаллока) | Диаграмма Маккаллока - прямой аналог диаграммы Кэррола |
Представляя в таких диаграммах информацию, Маккалок первоначально ставил в точки в значимых ячейках, потом пользовался знаками 0 и 1, перейдя затем к теоретико-вероятностным (многозначным) моделям. Д.Коэн показал возможность применения маккалоковского подхода для выражения не только функций Буля-Шредера, но и более общих функций Льюиса, а также Поста-Лукасевича, т.е. к аппарату многозначных и модальных логик.[15]
Отечественный исследователь диаграмм Венна - А.Кузичев показал, что модернизированные Маккаллоком в 1943 году диаграммы Венна позволяют адекватно выражать содержание не только алгебры логики Д.Буля, но и логики высказываний и логики предикатов.[16] В 1972 году венгерскими логиками Д.Бизамом и Я.Герцогом был предложен табличный метод решения логических задач.[17] Д.Бизам и Я.Герцог строят таблицы (матрицы) всех возможных комбинаций терминов, фигурирующих в рассуждении, чтобы затем, на основе информации, содержащейся в условиях задачи, вычеркнуть невозможные комбинации. Остающиеся клетки - и есть итоговое заключение. Фактически, речь идет о диаграммах Кэррола с использованием исключительно общеотрицательных суждений.
Возможность развития метода Кэррола за рамки силлогистики - предмет специального исследования. Стоит только отметить, что возможности такого развития имеются и представляются нетривиальными.
ЛОГИКА КЭРРОЛА: НОВЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ ЛОГИКИ СОДЕРЖАНИЯ?
Одно из излюбленных обвинений формальной логики - обвинение в банальности и тавтологичности - она-де не дает прироста информации. Знание, выраженное в заключении, уже якобы, содержится в посылках. Поэтому силлогизм не обладает доказательной силой, поскольку якобы содержит логическую ошибку «предвосхищения основания», когда утверждается нечто, что еще требуется доказать:
Столь грозное, на первый взгляд, обвинение просто и изящно отводится в кэрроловском методе диаграмм, которым наглядно демонстрируется: чтобы информацию, содержащуюся в двух посылках, трансформировать в новое суждение (считать информацию с трехбуквенной диаграммы и перенести ее в двухбуквенную), необходимо взаимодействие содержания информации, содержащейся в каждой из посылок. В этом плане, кэрроловская логика может рассматриваться как интенсиональная в своих основаниях, как логика содержательных, а не объемных логических отношений по преимуществу.
Как известно, у любого понятия есть две основные характеристики: объем и содержание. Первая связана с совокупностью предметов, знание которых фиксировано в понятии. Содержание - признаки предметов, знание о которых выражено в понятии. Вопрос о том, что что определяет - объем содержание или содержание объем сродни знаменитому спору о курице и яйце. Если первичен объем, то познание начинается с предметов и лишь затем мы выделяем признаки, их характеризующие. Если первично содержание, то познание начинается с признаков, из которых потом «лепятся» предметы. Или иначе - то ли множество определяет свойства,, объединяющее элементы множества, то ли само это свойство определяет принадлежность предметов этому множеству.
У Кэррола классы определяются интенсионально, т.е. наличием или отсутствием признаков предметов. Универсум рассуждения Кэррол трактует как пространство признаков, упорядочение которых и составляет предмет логики. Таким образом, уже с самого начала просматривается отличие подхода Кэррола от привычного сейчас экстенсионального (референциального) подхода к семантике. Современные логика и логическая семантика строятся преимущественно как системы анализа отношений объемов понятий.
Элементы логики содержания можно найти еще в силлогистике Аристотеля. Как отмечает Маковельский, «теория категорического силлогизма возникла из критики платоновского учения об определении понятия путем логического деления».[18] Однако непосредственно саму силлогистику Аристотель строит смешанным путем. Так, интерпретируя термины как роды и виды (т.е. экстенсионально), он, в то же время, раскрывает отношения между ними как отношения присущности признаков (т.е. интенсионально). Например, первая фигура в «Аналитике» выглядит следующим образом:
Именно с экстенсиональным подходом связаны магистральные пути развития современной логической науки: булева алгебра, математическая логика Г.Фреге, Б.Рассела, Д.Гильберта… Связано это, очевидно, с большей разработанностью анализа объемных отношений в силу их большей простоты и использования математических методов: алгебры (Д.Буль, Г.Шредер, С.Порецкий и др.), функциональной трактовки понятий (Г.Фреге), теоретико-множественных и теоретико-вероятностных подходов в новейшее время. Математика же строится преимущественно на основе теории множеств, т.е. экстенсионально.
Однако с развитием математики встал вопрос - а так ли уж принципиальна ее экстенсиональность? Появился ряд работ по основаниям математики, в которых предлагается не экстенсиональная трактовка множеств и математики в целом (С.Лесневский, Х.Патнем, Г.А.Смирнов и др.). Выяснилось, что сугубо экстенсиональный подход порождает целый комплекс проблем в теории логического следования (парадоксы материальной и других видов импликации), понимания и анализа модальных контекстов, эпистемических и других не экстенсиональных контектов. Это вызвало к жизни целую отрасль современной логической теории - модальную логику, логику неэкстенсиональных отношений, эпистемическую логику и т.д. В их семантическом обосновании обычно используется концепция «возможных миров» (альтернативных систем описания состояния), но и последние трактуются сугубо экстенсионально (Р.Карнап, С.Крипке, Я.Хинтикка и др.). Это, в свою очередь, порождает проблемы квантифицированной модальной логики, эссенциализма ее оснований и т.п.[19]
Развитие логики содержания после Аристотеля можно найти в логике стоиков, в основе которой лежит не общепринятая в Средние века аксиома силлогизма dictum de omni et nullo и не объемное отношение терминов в силлогизме, а трактовка вещи как совокупности качеств. Поэтому логика стоиков строится на интенсиональном принципе «признак признака вещи есть признак вещи». Отношение субъекта и предиката в суждении стоики понимали не как присутствие первого во втором, а как отношение постоянного сосуществования или постоянной (необходимой) последовательности.[20]
Стоическая трактовка логических отношений позволяет заменить идеей закономерной (необходимой) связи признаков идею вечных и неизменных сущностей. В этом ее неизбывная актуальность - она позволяет преодолеть эссенциализм и платонизм, свойственные до сих пор математике и математизированной логике - в основе своей экстенсионалистских.
В логике стоиков господствует идея единообразия природы, неизменности порядка, в котором следуют явления. В ХХ столетии аналогичную идею проводил в логике С.Лесневский, который рассматривал логику как науку о наиболее общих связях и формах, исследующую нечто, связующее любые факты. Она представляет собой подобие карты, задающей ориентиры и без знания которой невозможно вообще никакое познание мира. Думается, что к этой же традиции примыкал и Л.Витгеншейн[21] периода «Логико-философского трактата», пытавшийся задать общую схематизацию мира. Примерно ту же задачу решал и ранний Р.Карнап в «Логическом синтаксисе мира».
В принципе, традиция логики содержания прослеживается на протяжении всей истории логики, ее элементы можно найти в учениях Р.Декарта, логиков Пор-Рояля, Лейбница, Гамильтона… Она явно проглядывает в бэконовско-миллевской критике силлогизма. Общий набросок фрагмента логики содержания дал Г.Лотце. К этой традиции, в известной степени, примыкает и Кэррол. Его не интересует, отражено в посылках реальное положение дел или нет. Важно, что если бы посылки были бы истинными, то и заключение с необходимостью было бы истинным суждением. В его логике рассматриваются изначально все возможные мыслимые ситуации. Решение же вопроса о реальности существования элементов универсума (характеризуемых некими комплексами свойств) дело не логики, а теории познания и конкретной методологии, в конце концов - каждой конкретной науки и сферы деятельности. Логика же интересуют всеобщие закономерности, необходимые связи между признаками.
В этом случае преодолеваются трудности с поиском адекватного выражения логического (необходимого) следования, решения парадоксов материальной, сильной, строгой и релевантной импликаций, поскольку логические отношения - суть необходимые отношения, а отношение следования есть фиксация факта необходимости сосуществования данных признаков. Поэтому само понятие следования Кэрролом трактуется не как некий функтор, а, как и у Г.Лотце, с помощью бинарного метапредиката.
Аристотелем в «Топике» была предложена концепция предикации, согласно которой в качестве предиката суждении могут выступать:
Именно с этой методологической позиции Кэррол и предпринял свою основательную критику традиционной силлогистики, согласно которой из двух отрицательных посылок невозможен правильный вывод. Кэррол считал эту концепцию «еще одним пунктом помешательства логиков, столь же патологическим, как и их паническая боязнь отрицательных признаков».[24] Он предлагает рассмотреть следующие пары суждений:
Из каждой пары можно сделать заключение (соответственно):
И еще одно соображение. Экспликация идеи возможных миров, развитая в семантическом обосновании модальных и интенсиональных логик в работах С.Крипке, Я.Хинтикки и др. представляется неадекватной интуициям Лейбница. Впервые предложившем эту идею. Лейбниц. Как и затем И.Кант, исходил из различения истин разума (аналитических, истинных a priori) и истин факта (синтетических, истинных a posteriori). Первые суть истины логические, вторые - опытные, эмпирические. Современные же авторы семантики возможных миров понимают логическую истинность (необходимость) - как истинность во всех возможных мирах; истинность (выполнимость) в возможном мире - как модальность возможности; а истинность в «выделенном» возможном (реальном) мире - как просто истинность. В этом случае модальности необходимости и возможности экстенсионалистски сводятся к квантификации по мирам: необходимость - истинность во всех мирах, возможность - истинность в одном из возможных миров. Такая редукция, довольно изящная применительно к исчислениям высказываний, ставит под вопрос семантиическое обоснование модальной логики предикатов. Использование в этом случае квантификации сразу же выводит на первый план проблему идентификации элементов предметной области, которая обеспечивается то ли с помощью «твердых десигнаторов» (С.Крипке), то ли с помощью каждый раз специальной «идентификации сквозь миры» (Я.Хинтикка).
Такая чисто экстенсионалистская редукция интенсиональных отношений не только ведет к утрате ряда интуиций идей необходимости и возможности. Сами возможные миры предстают не просто «всеми возможностями», поскольку всегда возможны только относительно определенного, выделенного возможного мира (описания состояния). Однако реальная семантика логико-предметных теорий заключена не в абстрактных множествах описаний состояния, а в адекватных классификациях, установлениях присущности, получаемых и подтверждаемых индуктивно!
Диаграммы Кэррола - это графическое изображение всех возможных описаний состояния универсума, полученных с применением конкретных средств описания (терминов). Можно сказать, что это графический аналог описаний состояния (возможных миров) в духе Р.Карнапа. Однако отличие кэрроловского подхода от карнаповского довольно существенно:
- У Карнапа каждое описание состояния представляет обособленный универсум, а их конъюнкция - возможные миры. У Кэррола же один универсум рассуждения - схема всех возможных состояний мира относительно свойств, заданных предикатами (терминами). У Карнапа - возможные миры. У Кэррола - мир возможного.
- В семантике возможных миров необходимо отдельное обоснование для каждого суждения, описывающего каждый определенный мир. Иначе говоря. Истинность суждения решается относительно выбранного возможного мира или всех миров. У Кэррола же первоначален акт фиксации существования предметов - носителей определенной совокупности признаков. С этой точки зрения, логика (=теория следования) имеет основной задачей анализ этого факта существования. Причем этот анализ заключается в переходе от одних классификаций (описаний состояния) универсума рассуждения - к другим.
- Семантика возможных миров для получения адекватной теории необходимого следования (парадоксы импликации) нуждается в квантификации по возможным мирам. Логика Кэррола - естественным образом логика необходимых связей. Кэрроловские правила вывода (например, считывания информации с 3-х и более буквенной диаграммы) есть правила получения необходимого знания на основании знания о существовании предметов определенного вида. Причем, мы только предполагаем их существование, т.е. если мир устроен так, что наши посылки истинны (например, коты-гувернеры существуют), то мы с необходимостью получаем заключение. Подтверждение же таких экзистенциальных (онтологических, как сказал бы У.Куайн) допущений производится внелогическим путем. Логика Кэррола не нуждается в экзистенциальных (онтологических) допущениях о предметной области, поскольку сама является «теорией виртуального существования».
Таким образом, логика Кэррола, действительно, оказывается логикой, не зависящей в своих законах и семантике от знания о мире, его структуре и т.д. Она предстает действенным инструментом познания, а не учением о структуре мира, как это явно или неявно получается в традиционном экстенсионально ориентированном логицизме. Начиная со всех возможных (иногда весьма экзотических, «лишенных смысла») комбинаций терминов, вроде бы - с чисто словесной, «безответственной» игры, мы получаем возможность строгого анализа информации, чтобы с учетом достоверного знания, полученного опытным путем, получать новое знание. Нонсенс действительно оказывается необходимым условием истины.
[1] Кроме того, Льюс Кэррол был фактически одним из первых в мире мастеров художественной фотографии. См. альбом Lewis Carroll. Victorian photographer. Milan/London, 1980. Он специализировался на фотопортретах детей, преимущественно - девочек возраста 8-12 лет. Собственно, именно с фотографии и началось его знакомство с Алисой Лиддел - прообразом героини сказок и адресатом, которому сказки предназначались. Фотографии же и побудили родителей Алисы прервать ее отношения с Кэрролом.
[2] Льюис Кэррол. История с узелками. М., 1973, сс.189-361.
[3] Опубликована в Dodgson Ch.L. Lewis Carrolls Symbolic Logic. N.Y.1977.
[4] См. также Logical nonsense. The works of Lewis Carroll. N.Y., 1934.
[5] См. Kirk D.F. Charles Dodgson, Semantician Gainesville. University of Florida Press, 1962.
[6] Данилов Ю. Тот, кто выдумал Алису // Комсомольская правда. 1974. № 220.
[7] Тульчинский Г.Л. О логическом учении Льюиса Кэррола // Философские науки. 1979, № 3, с.97-103.
[8] Льюис Кэрролл. Логическая игра. М., 1991.
[9] Колесников Н.Г. О логических исследованиях Льюиса Кэррола // Вестник МГУ. Сер.7. Философия. 1983, № 3, с.57-63; Колесников Н.Г. Формализация силлогистики Льюиса Кэррола // Логические исследования. М., 1983, с.45-58.
[10] Бруснецов Н.П. Диаграммы Льюиса Кэррола и аристотелева силлогистика // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып.13. Л., 1977, с.164-182.
[11] См. Тульчинский Г.Л. О логическом учении Льюиса Кэррола // Философские науки. 1979, № 3, с.102-103.
[12] Тульчинский Г.Л. Аристотель = Льюис Кэррол - (Лейбниц + Гильберт + Лукасевич), или Отрицательные термины и экзистенциальность силлогистики // Философская и социологическая мысль. 1996. № 1-2. Сокращенный вариант под тем же названием см. в Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. СПб, 1996, с.115-118.
[13] Льюис Кэррол. История с узелками, с.341.
[14] Маккалок У. Символическое изображение нейрона в виде некоторой логической функции // Принципы самоорганизации. М.. 1966, с.131-135; Маккалок У. Надежность биологических систем // Самоорганизующиеся системы. М., 1964, с.359-380; Блюм М. Свойства нейрона со многими входами // Самоорганизующиеся системы. М., 1964, с.136-162.
[15] Коуэн Дж. Многозначные логики и надежные автоматы //Самоорганизующиеся системы. М., 1964, с.178-225.
[16] Кузичев А.С. Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968.
[17] Бизам Д., Герцог Я. Игра и логика. М., 1975.
[18] Маковельский А.О. История логики. М, 1967, с.164.
[19] См. Слинин Я.А. Современная модальная логика. Л., 1976; Тульчинский Г.Л. Сущность и существенность. Философско-логический анализ // Логико-философские штудии. - СПб, 2000, с.31-59.
[20] См. Маковельский А.О. История логики, с.189.
[21] О близости взглядов Кэррола и Л.Витгенштейна см. также Pitcher G. Wittgenstein, nonsense and Lewis Carroll. // Massachusetts Review. 1965. Vol.6. No.3, p.591-611.
[22] Анализ аристотелевой теории предикации см. Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от Античности до эпохи Возрождения. М., 1974, с.50 и далее.
[23] Попов П.С. История логики Нового времени. М., 1960, с.237.
[24] Льюис Кэррол. История с узелками, с.340.
[25] Там же.
